Преобразование пространств и криволинейные координаты

Координатные поверхности составляют три семейства:

а) — концентрические сферы с центром в начале координат;

б) — круговые конусы, осью которых служит ось ;

в) — полуплоскости, проходящие через ось .

Якобиан этого преобразования:

.

Якобиан сохраняет знак плюс, за исключением упомянутых выше случаев, когда , либо , и якобиан обращается в нуль.

3) Преобразование пространства самого в себя по формулам:

, ,

однозначно обратимо:

, , .

Оно называется инверсией.

4) Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных и соосновных поверхностей второго порядка:

,

состоящее из эллипсоидов (при ), однополостных гиперболоидов (при ) и, наконец, двуполостных гиперболоидов (при ).

Через каждую точку пространства, не лежащую на координатах плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действительно, левая часть уравнения, получаемого из :

,

имеет знак минус при , знак плюс при , снова знак минус при и, наконец, знак плюс при больших . Отсюда следует, что уравнение имеет три положительных корня: один (что отвечает эллипсоиду), второй , (он дает однополостный гиперболоид), третий (двуполостной гиперболоид).

Используя свойства корней написанного выше уравнения, которое мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно , а именно:

,

;

,

найдем:

, ,

.

Если ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах надлежит сохранить лишь положительные знаки. Числа можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют эллиптическими координатами. Три семейства координатных поверхностей - это и будут семейства эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.

Якобиан преобразования имеет вид:

Специфика профориентационной работы с сельскими школьниками на труд в сельском хозяйстве
В настоящее время в сельскохозяйственном производстве насчитывается более 100 рабочих профессий, по которым осуществляется подготовка рабочих в сельских общеобразовательных школах и сельских ПТУ. Профилирующие профессии сельскохозяйственного производства распределяются следующим образом. Основой пр ...

Организация и методика проведения экспериментального исследования
Цель проведения опытно-экспериментальной работы: исследовать условия успешного взаимодействия педагога и дошкольника при организации игровых форм коллективного (группового) обучения. Опытно-экспериментальная работа проводилась на базе МДОУ № 21 г. Новоалтайска. В исследуемую группу вошли 15 старших ...

Психологические особенности детей с легкой степенью умственной отсталости
Понятия «умственная отсталость» понимается по-разному в юридической, медицинской (психиатрической) и психологической науках. Согласно МКБ-10, медицинское понятие «умственная отсталость» имеет собирательное значение, объединяющее различные по происхождению формы психической патологии. В числе разнов ...