Преобразование пространств и криволинейные координаты

Координатные поверхности составляют три семейства:

а) — концентрические сферы с центром в начале координат;

б) — круговые конусы, осью которых служит ось ;

в) — полуплоскости, проходящие через ось .

Якобиан этого преобразования:

.

Якобиан сохраняет знак плюс, за исключением упомянутых выше случаев, когда , либо , и якобиан обращается в нуль.

3) Преобразование пространства самого в себя по формулам:

, ,

однозначно обратимо:

, , .

Оно называется инверсией.

4) Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных и соосновных поверхностей второго порядка:

,

состоящее из эллипсоидов (при ), однополостных гиперболоидов (при ) и, наконец, двуполостных гиперболоидов (при ).

Через каждую точку пространства, не лежащую на координатах плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действительно, левая часть уравнения, получаемого из :

,

имеет знак минус при , знак плюс при , снова знак минус при и, наконец, знак плюс при больших . Отсюда следует, что уравнение имеет три положительных корня: один (что отвечает эллипсоиду), второй , (он дает однополостный гиперболоид), третий (двуполостной гиперболоид).

Используя свойства корней написанного выше уравнения, которое мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно , а именно:

,

;

,

найдем:

, ,

.

Если ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах надлежит сохранить лишь положительные знаки. Числа можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют эллиптическими координатами. Три семейства координатных поверхностей - это и будут семейства эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.

Якобиан преобразования имеет вид:

Анализ создания инновационных компаний при вузах
Начиная с 2010 г., в нашей стране осуществляется целенаправленная политика развития инновационной инфраструктуры вузов. 9 апреля 2010 г. Правительство Российской Федерации утвердило постановление № 219 «О государственной поддержке развития инновационной инфраструктуры в федеральных образовательных ...

Принципы обучения дизайну
Дизайнер – человек своего времени, и он должен ощущать и передавать специфику этого времени. Критерием выбора учебных программ является не красивая картинка, а целесообразность учебных дисциплин и разработанных под специальность учебных заданий, их важность в профессиональной перспективе. Каждая ве ...

Изучение особенностей грамматического строя речи у нормально развивающихся детей и у детей с трудностями в обучении
На данном этапе работы ставились следующие задачи: - выявить механизм аграмматизма в грамматическом оформлении высказываний у учащихся в норме и при патологии; - определить принципы и методы обучения в формировании грамматического строя речи и апробировать их на уроках и коррекционных занятиях; - о ...