Преобразование пространств и криволинейные координаты

Координатные поверхности составляют три семейства:

а) — концентрические сферы с центром в начале координат;

б) — круговые конусы, осью которых служит ось ;

в) — полуплоскости, проходящие через ось .

Якобиан этого преобразования:

.

Якобиан сохраняет знак плюс, за исключением упомянутых выше случаев, когда , либо , и якобиан обращается в нуль.

3) Преобразование пространства самого в себя по формулам:

, ,

однозначно обратимо:

, , .

Оно называется инверсией.

4) Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных и соосновных поверхностей второго порядка:

,

состоящее из эллипсоидов (при ), однополостных гиперболоидов (при ) и, наконец, двуполостных гиперболоидов (при ).

Через каждую точку пространства, не лежащую на координатах плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действительно, левая часть уравнения, получаемого из :

,

имеет знак минус при , знак плюс при , снова знак минус при и, наконец, знак плюс при больших . Отсюда следует, что уравнение имеет три положительных корня: один (что отвечает эллипсоиду), второй , (он дает однополостный гиперболоид), третий (двуполостной гиперболоид).

Используя свойства корней написанного выше уравнения, которое мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно , а именно:

,

;

,

найдем:

, ,

.

Если ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах надлежит сохранить лишь положительные знаки. Числа можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют эллиптическими координатами. Три семейства координатных поверхностей - это и будут семейства эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.

Якобиан преобразования имеет вид:

Психолого-педагогические особенности развития интеллектуальных способностей детей
Интеллект (от латинского слова intellectus – разумение, понимание, постижение) в психологической науке рассматривается как «относительно устойчивая структура умственных способностей индивида». В психологической науке выделяют ряд теоретических подходов к трактовке природы интеллекта, одним из них я ...

Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед
Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция , представляет собой прямоугольный параллелепипед (рис.1), проектирующийся на плоскость в прямоугольник . Теорема. Если для функции существует тройной интеграл (5) и при каждом постоянно ...

Психологические особенности старшеклассников и развитие их математических способностей
Учебная деятельность старшеклассников значительно отличается по своему характеру и содержанию от учебной деятельности более младших школьников. Во-первых, углубляется содержание обучения и вводятся новые учебные разделы. Во-вторых, что является главным отличием, учебная деятельность старшекласснико ...