Преобразование пространств и криволинейные координаты

Координатные поверхности составляют три семейства:

а) — концентрические сферы с центром в начале координат;

б) — круговые конусы, осью которых служит ось ;

в) — полуплоскости, проходящие через ось .

Якобиан этого преобразования:

.

Якобиан сохраняет знак плюс, за исключением упомянутых выше случаев, когда , либо , и якобиан обращается в нуль.

3) Преобразование пространства самого в себя по формулам:

, ,

однозначно обратимо:

, , .

Оно называется инверсией.

4) Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных и соосновных поверхностей второго порядка:

,

состоящее из эллипсоидов (при ), однополостных гиперболоидов (при ) и, наконец, двуполостных гиперболоидов (при ).

Через каждую точку пространства, не лежащую на координатах плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действительно, левая часть уравнения, получаемого из :

,

имеет знак минус при , знак плюс при , снова знак минус при и, наконец, знак плюс при больших . Отсюда следует, что уравнение имеет три положительных корня: один (что отвечает эллипсоиду), второй , (он дает однополостный гиперболоид), третий (двуполостной гиперболоид).

Используя свойства корней написанного выше уравнения, которое мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно , а именно:

,

;

,

найдем:

, ,

.

Если ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах надлежит сохранить лишь положительные знаки. Числа можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют эллиптическими координатами. Три семейства координатных поверхностей - это и будут семейства эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.

Якобиан преобразования имеет вид:

Разработка модельного опыта и его апробация
Разработку модельного опыта начали с составления схемы опыта и подробной программы исследований. Приготовление новых видов удобрений провели методом компостирования сосновой коры и сапропеля и осуществляли в лабораторных условиях в пластмассовых сосудах в течение одного года. Схема опыта включала с ...

Элементы принципа народности воспитания по учению К. Д. Ушинского
Наиболее полно и фундаментально идея трудового воспитания в отечественной педагогике второй половины XIX в социальном и педагогическом аспектах была рассмотрена К.Д. Ушинским в статье «Труд в его психическом и воспитательном значении». Кроме того, Ушинский в «Родном слове» и в «Детском мире» ярко о ...

Организация физкультурных занятий в детском саду
Физкультурные занятия — основная форма организованного систематического обучения физическим упражнениям в детском саду. Физкультурные занятия были введены в дошкольные учреждения в 50-е годы XX в. Первоначально занятия с использованием физических упражнений получили название занятия гимнастикой и п ...