Преобразование пространств и криволинейные координаты

Координатные поверхности составляют три семейства:

а) — концентрические сферы с центром в начале координат;

б) — круговые конусы, осью которых служит ось ;

в) — полуплоскости, проходящие через ось .

Якобиан этого преобразования:

.

Якобиан сохраняет знак плюс, за исключением упомянутых выше случаев, когда , либо , и якобиан обращается в нуль.

3) Преобразование пространства самого в себя по формулам:

, ,

однозначно обратимо:

, , .

Оно называется инверсией.

4) Эллиптические координаты. Рассмотрим семейство софокусных и соосновных поверхностей второго порядка:

,

состоящее из эллипсоидов (при ), однополостных гиперболоидов (при ) и, наконец, двуполостных гиперболоидов (при ).

Через каждую точку пространства, не лежащую на координатах плоскостях, проходит по одной поверхности каждого типа. Действительно, левая часть уравнения, получаемого из :

,

имеет знак минус при , знак плюс при , снова знак минус при и, наконец, знак плюс при больших . Отсюда следует, что уравнение имеет три положительных корня: один (что отвечает эллипсоиду), второй , (он дает однополостный гиперболоид), третий (двуполостной гиперболоид).

Используя свойства корней написанного выше уравнения, которое мы можем рассматривать как кубическое уравнение относительно , а именно:

,

;

,

найдем:

, ,

.

Если ограничиться первым координатным октантом, то в этих формулах надлежит сохранить лишь положительные знаки. Числа можно рассматривать, как криволинейные координаты точек этого угла. Их и называют эллиптическими координатами. Три семейства координатных поверхностей - это и будут семейства эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов, о которых была речь выше.

Якобиан преобразования имеет вид:

Урок-лабораторная работа по теме «Агрегатные состояния вещества»
Тема: Агрегатные состояния вещества Тип урока: урок-лабораторная работа Цели: Обучающая - проверить знание у учащихся понятий: плавление, кристаллизация, парообразование, температура плавления, отвердевания и кипения; научить учащихся применять знания, полученные при изучении темы “Тепловые явления ...

Сеть учреждений и служб, оказывающих социально-педагогическую, психологическую помощь
Сеть учреждений и служб, оказывающих социально-педагогическую помощь детям включает: o учреждения и службы образования (дошкольные, внешкольные, общеобразовательные школы, колледжи, лицеи, школы-интернаты, детские дома, ПТУ, средние профессиональные учебные заведения, вузы и др.), o учреждения и сл ...

Виды изобразительно-выразительных средств русского языка
Выразительность речи, ее воздействующая сила увеличивается, если используются разнообразные изобразительно-выразительные средства. Для более полной, точной, яркой и образной передачи своих мыслей, чувств и оценок автор текста может использовать различные средства языковой выразительности. Укажем на ...