Преобразование пространств и криволинейные координаты

Впрочем, все это будет так лишь в предположении строгой однозначности соответствия между областями и . На практике эта однозначность часто нарушается.

1) Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости с обычной декартовой аппликатой . Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид

, ,

Эти формулы отображают область

, ,

на все пространство . Отметим, однако, что прямая , отображается в одну точку ; этим нарушается взаимная однозначность соответствия.

Рис. 4.

Координатные поверхности в рассматриваемом случае будут:

а)— цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси ; направляющими для них служат окружности на плоскости с центром в начале;

б) — полуплоскости, проходящие через ось ;

в) — плоскости, параллельные плоскости .

Якобиан преобразования:

.

Исключая случай , якобиан сохраняет положительный знак.

2) Сферические координаты, называемые иначе полярными координатами в пространстве, связаны с декартовыми формулами:

, , ,

Где , , .

Геометрический смысл величин , , ясен из puc.5: есть радиус вектор , соединяющий начало(полюс) с данной точкой ;— угол, составляемый с осью координат (полярной осью); - угол, составляемый с осью проекцией (перпендикулярную к полярной оси).

Рис.5.

В этом случае снова сталкиваемся с нарушением взаимной однозначности соответствия: плоскость пространства отображается в начало координат , прямая , отображается в одну точку , .

О жизни и творчестве Петра Ильича Чайковского
П.И.Чайковский (7 мая 1840 г. – 6 ноября 1893 г.) – гениальный русский композитор, гордость русской музыкальной культуры. Родился в рабочем посёлке Воткинск, в семье начальника Камско-Воткинского горного округа Ильи Петровича. В родном Воткинске Чайковский провел только восемь детских лет, но воспо ...

Роль дошкольно-образовательного учреждения в развитии ребенка
Дошкольно-образовательное учреждение, являясь первой ступенью образования, выполняет множество функций. Среди задач, стоящих перед детским садом, главной является всесторонне развитие личности ребенка. На занятиях, предусмотренных программой обучения и воспитания в детском саду, ребенок получает сп ...

Как определить проблему исследования и выделить ее основные составляющие, которые необходимо проанализировать
Всякое исследование в науке предпринимается для того, чтобы преодолеть определенные трудности в процессе познания новых явлений, объяснить ранее неизвестные факты или выявить неполноту старых способов объяснения известных фактов. Эти трудности в наиболее отчетливом виде выступают в так называемых п ...