Замена переменных в тройных интегралах

С помощью выражения объема в криволинейных координатах нетрудно установить и общую формулу замены переменных в тройных интегралах.

Пуста между областями и пространств и cyществует соответствие, охарактеризованное в п0 2.1. Считая соблюденными все условия, при которых была выведена формула (26), покажем теперь, что имеет место следующее равенство

где , вполне похожее формуле замены переменных в двойных интегралах. При этом функцию предполагаем непрерывной или, самое большее, допускающей разрывы вдоль конечного числа кусочно-гладких поверхностей (но во всяком случае сохраняющей ограниченность). Таким образом, существование обоих интегралов в равенстве не вызывает сомнений; нужно установить лишь самое равенство.

Разложив кусочно-гладкими поверхностями области и на (соответствующие друг другу) элементарные части и , применим к каждой паре областей , формулу (25); получим

,

где есть некоторая точка области не зависящая от выбора. Возьмем соответствующую точку области , т. е. положим

, , ,

и составим интегральную сумму для первого из интегралов:

.

Подставив сюда вместо , , выражения , а вместо —выражение (28), придем к сумме

,

которая, очевидно, уже является интегральной суммой для второго из интегралов .

Устремим к нулю диаметры областей , вследствие чего в силу непрерывности соответствия устремятся к нулю и диаметры областей . Сумма должна стремиться одновременно к обоим интегралам, откуда и следует требуемое равенство.

Как и в случае двойных интегралов формула имеет место и при нарушении сформулированных выше при доказательстве формулы предположений в отдельных точках или вдоль конечного числа кусочно-гладких линий и поверхностей, лишь бы якобиан сохранял ограниченность.

Можно пойти дальше при расширении условий применимости формулы (28), допуская и несобственные интегралы. Подчеркнем еще раз, что при указанных там условиях формула имеет место в предположении существования одного из интегралов , существование другого отсюда уже будет вытекать.

Организация исследования, характеристики исходных данных
Выборку составили ученики 3-х классов средней общеобразовательной школы №85 с углубленным изучением отдельных предметов г.Казани. 3б – традиционный класс, в составе 33 детей, 27 из которых участвовали в тестировании. 3в – вальдорофский класс, в составе 16 детей, в тестировании участвовал весь класс ...

Анализ полученных результатов исследования
В ходе эксперимента разработана примерная программа по формированию культуры межнациональных отношений у младших подростков. С направлениями работы по программе были ознакомлены классные руководители 5-9 классов школы №536 и учителя-предметники. В плане апробации данной программы с учащимися 5-А кл ...

Система уроков по теме
Классно-урочная система обучения в современной школе отличается большим разнообразием типов и видов уроков. Задача учителя в этих условиях заключается в том, чтобы продумать четкую систему логически взаимосвязанных уроков, применения которой позволило бы ему обучать детей самоорганизации, умениям и ...