С помощью выражения объема в криволинейных координатах нетрудно установить и общую формулу замены переменных в тройных интегралах.
Пуста между областями и
пространств
и
cyществует соответствие, охарактеризованное в п0 2.1. Считая соблюденными все условия, при которых была выведена формула (26), покажем теперь, что имеет место следующее равенство
где , вполне похожее формуле замены переменных в двойных интегралах. При этом функцию
предполагаем непрерывной или, самое большее, допускающей разрывы вдоль конечного числа кусочно-гладких поверхностей (но во всяком случае сохраняющей ограниченность). Таким образом, существование обоих интегралов в равенстве не вызывает сомнений; нужно установить лишь самое равенство.
Разложив кусочно-гладкими поверхностями области и
на (соответствующие друг другу) элементарные части
и
, применим к каждой паре областей
,
формулу (25); получим
,
где есть некоторая точка области
не зависящая от выбора. Возьмем соответствующую точку
области
, т. е. положим
,
,
,
и составим интегральную сумму для первого из интегралов:
.
Подставив сюда вместо ,
,
выражения , а вместо
—выражение (28), придем к сумме
,
которая, очевидно, уже является интегральной суммой для второго из интегралов .
Устремим к нулю диаметры областей , вследствие чего в силу непрерывности соответствия устремятся к нулю и диаметры областей
. Сумма
должна стремиться одновременно к обоим интегралам, откуда и следует требуемое равенство.
Как и в случае двойных интегралов формула имеет место и при нарушении сформулированных выше при доказательстве формулы предположений в отдельных точках или вдоль конечного числа кусочно-гладких линий и поверхностей, лишь бы якобиан сохранял ограниченность.
Можно пойти дальше при расширении условий применимости формулы (28), допуская и несобственные интегралы. Подчеркнем еще раз, что при указанных там условиях формула имеет место в предположении существования одного из интегралов , существование другого отсюда уже будет вытекать.
Правописание количественных числительных
1. Числительное 4 пишется на конце с е (четыре), в творительном падеже - с ь после р (четырьмя). 2. Числительное 11 пишется с двумя н (одиннадцать). 3. В числительных от 5 до 20 и 30 ь ставится только в конце слова (пять, семь, восемь, шестнадцать, восемнадцать и т. д.), Слова седьмой, восьмой, вос ...
Комплекс форм, методов и приемов воспитания как условие эффективного
освоения воспитанниками содержания воспитания
Метод воспитания в педагогике рассматривается как способ достижения заданной цели на основе организации педагогически целесообразного взаимодействия воспитателя и воспитанника. Метод воспитания (от греческого методос – путь) - это способ реализации целей воспитания. Методы воспитания являются главн ...
Закономерности развития детской речи в норме и условиях ее нарушения
Если сравнивать пути усвоения родного языка детьми, сообщаемые исследователям нормальной детской речи, с путями становления детской речи при нарушении ее развития, то нельзя не заметить в них определенного сходства: какая бы форма патологии речи (при сохраненном интеллекте) ни была присуща ребенку, ...