Замена переменных в тройных интегралах

С помощью выражения объема в криволинейных координатах нетрудно установить и общую формулу замены переменных в тройных интегралах.

Пуста между областями и пространств и cyществует соответствие, охарактеризованное в п0 2.1. Считая соблюденными все условия, при которых была выведена формула (26), покажем теперь, что имеет место следующее равенство

где , вполне похожее формуле замены переменных в двойных интегралах. При этом функцию предполагаем непрерывной или, самое большее, допускающей разрывы вдоль конечного числа кусочно-гладких поверхностей (но во всяком случае сохраняющей ограниченность). Таким образом, существование обоих интегралов в равенстве не вызывает сомнений; нужно установить лишь самое равенство.

Разложив кусочно-гладкими поверхностями области и на (соответствующие друг другу) элементарные части и , применим к каждой паре областей , формулу (25); получим

,

где есть некоторая точка области не зависящая от выбора. Возьмем соответствующую точку области , т. е. положим

, , ,

и составим интегральную сумму для первого из интегралов:

.

Подставив сюда вместо , , выражения , а вместо —выражение (28), придем к сумме

,

которая, очевидно, уже является интегральной суммой для второго из интегралов .

Устремим к нулю диаметры областей , вследствие чего в силу непрерывности соответствия устремятся к нулю и диаметры областей . Сумма должна стремиться одновременно к обоим интегралам, откуда и следует требуемое равенство.

Как и в случае двойных интегралов формула имеет место и при нарушении сформулированных выше при доказательстве формулы предположений в отдельных точках или вдоль конечного числа кусочно-гладких линий и поверхностей, лишь бы якобиан сохранял ограниченность.

Можно пойти дальше при расширении условий применимости формулы (28), допуская и несобственные интегралы. Подчеркнем еще раз, что при указанных там условиях формула имеет место в предположении существования одного из интегралов , существование другого отсюда уже будет вытекать.

Экспериментальное исследование на основе модификации методики Бурдона «Волшебный домик»
Цель нашего эксперимента – рисование портрета средствами нетрадиционных техник, помочь реализовать себя, уметь соединять в одном рисунке различные материалы для получения выразительного образа. Для достижения этой цели я разработала перспективный план изобразительной деятельности с использованием н ...

Задачи воспитания в семье
Развитие интеллекта и творческих способностей, познавательных сил и первичного опыта трудовой деятельности, нравственное и эстетическое формирование, эмоциональная культура и физическое здоровье детей – все это зависит от семьи, от родителей, и все это составляет задачи семейного воспитания. В перв ...

Проблемы здорового образа жизни подростков
Чтобы быть здоровым, нужны здоровые жизненные навыки, здоровые привычки. Уже не приходится доказывать, что принципы ЗОЖ - необходимые условия здоровья. По словам академика Е. Чазова, проблема теперь в том, чтобы эти принципы усвоил и освоил каждый. Человеку конца 20-начала 21 века приходится учитьс ...