Замена переменных в тройных интегралах

С помощью выражения объема в криволинейных координатах нетрудно установить и общую формулу замены переменных в тройных интегралах.

Пуста между областями и пространств и cyществует соответствие, охарактеризованное в п0 2.1. Считая соблюденными все условия, при которых была выведена формула (26), покажем теперь, что имеет место следующее равенство

где , вполне похожее формуле замены переменных в двойных интегралах. При этом функцию предполагаем непрерывной или, самое большее, допускающей разрывы вдоль конечного числа кусочно-гладких поверхностей (но во всяком случае сохраняющей ограниченность). Таким образом, существование обоих интегралов в равенстве не вызывает сомнений; нужно установить лишь самое равенство.

Разложив кусочно-гладкими поверхностями области и на (соответствующие друг другу) элементарные части и , применим к каждой паре областей , формулу (25); получим

,

где есть некоторая точка области не зависящая от выбора. Возьмем соответствующую точку области , т. е. положим

, , ,

и составим интегральную сумму для первого из интегралов:

.

Подставив сюда вместо , , выражения , а вместо —выражение (28), придем к сумме

,

которая, очевидно, уже является интегральной суммой для второго из интегралов .

Устремим к нулю диаметры областей , вследствие чего в силу непрерывности соответствия устремятся к нулю и диаметры областей . Сумма должна стремиться одновременно к обоим интегралам, откуда и следует требуемое равенство.

Как и в случае двойных интегралов формула имеет место и при нарушении сформулированных выше при доказательстве формулы предположений в отдельных точках или вдоль конечного числа кусочно-гладких линий и поверхностей, лишь бы якобиан сохранял ограниченность.

Можно пойти дальше при расширении условий применимости формулы (28), допуская и несобственные интегралы. Подчеркнем еще раз, что при указанных там условиях формула имеет место в предположении существования одного из интегралов , существование другого отсюда уже будет вытекать.

Развитие сюжетно-ролевой игры в дошкольном возрасте
Особое место в деятельности дошкольника занимают игры, которые создаются самими детьми, это творческие или сюжетно-ролевые игры. В них дети воспроизводят в ролях все то, что они видят вокруг себя в жизни и деятельности взрослых. В игре ребенок начинает чувствовать себя членом коллектива, он может с ...

Методические аспекты в преподавание основных школьных редакторов
Программа PhotoShop представляет собой мощную программу по обработке растровой графики, устойчивую к действиям пользователя. Данное свойство позволяет использовать графический редактор, как в профессиональной деятельности, так и в игровом процессе. Алгоритм работы большинства функций позволяет прос ...

Урок проверки и коррекции знаний и умений по теме «Тепловые явления»
Тема: Тепловые явления Тип урока: урок проверки и коррекции знаний и умений Вид урока: тестовые задания Цели: образовательная - повторить, обобщить, закрепить знания по теме, продолжить формирование умения решать количественные и качественные задачи; применять полученные знания для объяснения разно ...