С помощью выражения объема в криволинейных координатах нетрудно установить и общую формулу замены переменных в тройных интегралах.
Пуста между областями и
пространств
и
cyществует соответствие, охарактеризованное в п0 2.1. Считая соблюденными все условия, при которых была выведена формула (26), покажем теперь, что имеет место следующее равенство
где , вполне похожее формуле замены переменных в двойных интегралах. При этом функцию
предполагаем непрерывной или, самое большее, допускающей разрывы вдоль конечного числа кусочно-гладких поверхностей (но во всяком случае сохраняющей ограниченность). Таким образом, существование обоих интегралов в равенстве не вызывает сомнений; нужно установить лишь самое равенство.
Разложив кусочно-гладкими поверхностями области и
на (соответствующие друг другу) элементарные части
и
, применим к каждой паре областей
,
формулу (25); получим
,
где есть некоторая точка области
не зависящая от выбора. Возьмем соответствующую точку
области
, т. е. положим
,
,
,
и составим интегральную сумму для первого из интегралов:
.
Подставив сюда вместо ,
,
выражения , а вместо
—выражение (28), придем к сумме
,
которая, очевидно, уже является интегральной суммой для второго из интегралов .
Устремим к нулю диаметры областей , вследствие чего в силу непрерывности соответствия устремятся к нулю и диаметры областей
. Сумма
должна стремиться одновременно к обоим интегралам, откуда и следует требуемое равенство.
Как и в случае двойных интегралов формула имеет место и при нарушении сформулированных выше при доказательстве формулы предположений в отдельных точках или вдоль конечного числа кусочно-гладких линий и поверхностей, лишь бы якобиан сохранял ограниченность.
Можно пойти дальше при расширении условий применимости формулы (28), допуская и несобственные интегралы. Подчеркнем еще раз, что при указанных там условиях формула имеет место в предположении существования одного из интегралов , существование другого отсюда уже будет вытекать.
Психологические условия формирования свойств личности
При каких психологических условиях формирование свойств личности будет наиболее успешным? · Воспитательное воздействие на эмоциональную сферу должно затрагивать всю личность, весь субъективный мир человека Искусство воспитателя состоит в том, чтобы установить связь между тем, что мы хотим сформиров ...
Учебная программа по физике для 8 класса по теме «Тепловые явления»
В школе на изучение темы «Тепловые явления» отводится 25 часов, включающей в себя следующие темы уроков: Тепловое расширение тел Температура. Измерение температуры. Термометр Внутренняя энергия Способы изменения внутренней энергии Теплопроводность Конвекция Излучение Расчет количества теплоты при н ...
Проблема соотношения изучения социального опыта и формирования собственного
опыта учащихся в различных видах деятельности
Уже достаточно давно сформировался взгляд на содержание образования как на социальный опыт, включающий знания, умения и навыки, опыт творческой деятельности, нравственные и другие социальные ценности. Принято считать, что этот опыт представлен в содержании учебных предметов. Но содержание школьного ...