Замена переменных в тройных интегралах

С помощью выражения объема в криволинейных координатах нетрудно установить и общую формулу замены переменных в тройных интегралах.

Пуста между областями и пространств и cyществует соответствие, охарактеризованное в п0 2.1. Считая соблюденными все условия, при которых была выведена формула (26), покажем теперь, что имеет место следующее равенство

где , вполне похожее формуле замены переменных в двойных интегралах. При этом функцию предполагаем непрерывной или, самое большее, допускающей разрывы вдоль конечного числа кусочно-гладких поверхностей (но во всяком случае сохраняющей ограниченность). Таким образом, существование обоих интегралов в равенстве не вызывает сомнений; нужно установить лишь самое равенство.

Разложив кусочно-гладкими поверхностями области и на (соответствующие друг другу) элементарные части и , применим к каждой паре областей , формулу (25); получим

,

где есть некоторая точка области не зависящая от выбора. Возьмем соответствующую точку области , т. е. положим

, , ,

и составим интегральную сумму для первого из интегралов:

.

Подставив сюда вместо , , выражения , а вместо —выражение (28), придем к сумме

,

которая, очевидно, уже является интегральной суммой для второго из интегралов .

Устремим к нулю диаметры областей , вследствие чего в силу непрерывности соответствия устремятся к нулю и диаметры областей . Сумма должна стремиться одновременно к обоим интегралам, откуда и следует требуемое равенство.

Как и в случае двойных интегралов формула имеет место и при нарушении сформулированных выше при доказательстве формулы предположений в отдельных точках или вдоль конечного числа кусочно-гладких линий и поверхностей, лишь бы якобиан сохранял ограниченность.

Можно пойти дальше при расширении условий применимости формулы (28), допуская и несобственные интегралы. Подчеркнем еще раз, что при указанных там условиях формула имеет место в предположении существования одного из интегралов , существование другого отсюда уже будет вытекать.

Игра как фактор педагогического воздействия
Игра теснейшем образом связана с развитием личности, и именно в период ее особенно интенсивного развития – в детстве – она приобретает особое значение. В ранние, дошкольные годы жизни ребенка игра является тем видом деятельности, в которой формируется его личность. Игра – первая деятельность, котор ...

Примеры и правила игр для дошкольников
«Верба – вербочка» (Игры на вербное воскресенье) Дети выбирают водящих, девочку и мальчика. Играющие встают в два круга и начинают движение. На слово «вьет» девочка и мальчик разрывают хоровод и делают руками «воротики». Дети проходят в них, под конец разрывают весь хоровод и танцуют. Верба, верба, ...

Особенности графических умений младших школьников
В специальной литературе отмечается, что одна из наиболее распространенных причин трудностей овладения графической грамотностью письма учащихся младшего школьного возраста – нарушение интеллектуального развития. Формирование графической грамотности осуществляется в тесной связи с функционированием ...