Выражение объема в криволинейных координатах

Возвращаясь к предположениям и обозначениям п° 1.1, поставим себе задачей выразить объем (ограниченного) тела в пространстве . Иным интегралом, распространенным на соответствующее тело в пространстве .

Искомый объем выражается, прежде всего поверхностным интегралом второго типа:,распространенным на внешнюю сторону поверхности . Отсюда постараемся перейти к обыкновенному двойному интегралу.

Будем исходить из параметрических уравнений поверхности ( изменяются в области на плоскости ). Тогда уравнения выразят, очевидно, поверхность .

Полагая , имеем:.

При этом интеграл берется со знаком плюс, если ориентация поверхности , связанная с рассмотрением внешней ее стороны соответствует ориентации плоскости , что всегда можно предположить.

Так как зависят от через посредство переменных , то, по известному свойствy функциональных определителей:

.

Подставляя выражение в полученный выше интеграл, найдем:

.

Сопоставим этот интеграл с поверхностным интегралом второго типа, распространенным на внешнюю сторону поверхности :

.

Если его преобразовать, исходя из параметрических уравнений к обыкновенному двойному интегралу придем как раз к интегралу. Единственное различие между этими интегралами может заключаться лишь в знаке: если ориентация плоскости соответствует ориентации поверхности , связанной с рассмотрением внешней ее стороны, то интегралы равны, в противном же случае они разнятся знаками.

Наконец, от интеграла по формуле Остроградского можно перейти к тройному интегралу по области :

.

Подинтегральное выражение равно:

Сумма, стоящая здесь в первой строке, равна якобиану:

,

в чем легко убедиться, разлагая этот определитель по элементам последней строки; сумма же в квадратных скобках, как показывает непосредственное вычисление, равна нулю. Таким образом, приходим к формуле:

.

Если вспомнить, что по предположению якобиан сохраняет знак, который он сообщает и интегралу, то станет ясно (так как здесь считаем ), что знак перед интегралом должен совпасть со знаком якобиана. Это дает нам право переписать полученный результат в окончательной форме:

Проблема содержания учебных предметов
Есть несколько аспектов этой проблемы: обновление учебного материала в соответствии с изменениями в окружающем мире и достижениями базовых наук; включение новых разделов и тем, необходимых для жизни в современном обществе, имеющих общекультурное значение; перераспределение учебного материала между ...

Организация физкультурных занятий в детском саду
Физкультурные занятия — основная форма организованного систематического обучения физическим упражнениям в детском саду. Физкультурные занятия были введены в дошкольные учреждения в 50-е годы XX в. Первоначально занятия с использованием физических упражнений получили название занятия гимнастикой и п ...

Развитие сюжетно-ролевой игры в дошкольном возрасте
Особое место в деятельности дошкольника занимают игры, которые создаются самими детьми, это творческие или сюжетно-ролевые игры. В них дети воспроизводят в ролях все то, что они видят вокруг себя в жизни и деятельности взрослых. В игре ребенок начинает чувствовать себя членом коллектива, он может с ...