Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед

Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция , представляет собой прямоугольный параллелепипед (рис.1), проектирующийся на плоскость в прямоугольник .

Теорема. Если для функции существует тройной интеграл

(5)

и при каждом постоянном из — двойной интеграл

,

то существует также повторный интеграл

, (7)

и выполняется равенство

.

доказательство: Разделим промежутки , , на части с помощью точек

,

,

,

тем самым разложим параллелепипед (Т) на элементарные параллелепипеды

и одновременно прямоугольник — на элементарные прямоугольники

(где и пробегают те же значения, что и только что).

Положив

имеем в силу 1.3, 1.7,

для всех значений из . Фиксируя произвольное значение , в этом промежутке, просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k; мы получим неравенства

.

Наконец, умножим эти неравенства почленно на и просуммируем на этот раз по значку :

.

Крайние члены представляют собой суммы Дарбу для интеграла и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей , , . Значит, к тому же пределу стремится интегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла, так и равенство. Если предположить еще существование простого интеграла

при любых значениях х из , у из ,то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным и окончательно получим:

.

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных , в формуле (10), разумеется, могут быть произвольно переставлены.

Если , то

И здесь роли переменных можно переставлять.

В частности, для случая непрерывной функции ,очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных [3].

Виды деятельности детей и общие технологические требования к их организации
Человек как субъект труда, познания и общения формируется в процессе деятельности, которая обеспечивает научное освоение действительности, возбуждает интерес, чувства, порождает новые потребности, активизирует волю, энергию - все то, что служит строительным материалом для развития и становления лич ...

Методы и приемы рейтинговых оценок
Теоретические и методологические корни оценки лежат в науке аксиологии (теории ценностей). Оставляя за рамками данной работы методологический анализ оценочного подхода остановимся на методической схеме рейтинговой оценки. Она базируется на содержании процесса оценивания, и ее основными элементами в ...

Горение. Удельная теплота сгорания топлива
Горение — сложный физико-химический процесс превращения компонентов горючей смеси в продукты сгорания с выделением теплового излучения, света и лучистой энергии. Приближенно можно описать природу горения как бурно идущее окисление. Дозвуковое горение (дефлаграция) в отличие от взрыва и детонации пр ...