Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция
, представляет собой прямоугольный параллелепипед
(рис.1), проектирующийся на плоскость
в прямоугольник
.
Теорема. Если для функции
существует тройной интеграл
(5)
и при каждом постоянном
из
— двойной интеграл
,
то существует также повторный интеграл
, (7)
и выполняется равенство
![]()
.
доказательство: Разделим промежутки
,
,
на части с помощью точек
,
,
,
тем самым разложим параллелепипед (Т) на элементарные параллелепипеды
и одновременно прямоугольник
— на элементарные прямоугольники
(где
и
пробегают те же значения, что и только что).
Положив
имеем в силу 1.3, 1.7,
для всех значений
из
. Фиксируя произвольное значение
, в этом промежутке, просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k; мы получим неравенства
.
Наконец, умножим эти неравенства почленно на
и просуммируем на этот раз по значку
:
.
Крайние члены представляют собой суммы Дарбу для интеграла и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей
,
,
. Значит, к тому же пределу стремится интегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла, так и равенство. Если предположить еще существование простого интеграла
при любых значениях х из
, у из
,то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным и окончательно получим:
.
Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных
, в формуле (10), разумеется, могут быть произвольно переставлены.
Если
, то
И здесь роли переменных можно переставлять.
В частности, для случая непрерывной функции
,очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных [3].
Работа классного руководителя с родителями
Важной частью построения воспитательной работы является взаимодействие педагога с родителями школьника. Семья является той естественной средой жизни и развития ребенка, в которой закладываются основы личности. Роль семьи является решающей на любом возрастном этапе развития ребенка. Она регулирует ф ...
Народные праздники, обряды, игры
Через игровую и обрядовую практику дети постигали и весьма сложные философские понятия и категории. Известно множество старинных народных игр – с мячами и палками, с шариками и камешками, `в городки` и `в столбики`, на улице и дома, вдвоем и целым хороводом. Не забыты и игры в слова – шарады, калам ...
Выявление уровня сформированности гуманизма у старшеклассников
I этап (констатирующий эксперимент) выявление уровня сформированности гуманизма у старшеклассников, который проходил в октябре-ноябре 2009 г. Опытно-экспериментальная работа была проведена на базе МОУ № 64 г. Тольятти. В исследовании принимали участие дети старшего школьного возраста –11 «А» (25 че ...