Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед

Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция , представляет собой прямоугольный параллелепипед (рис.1), проектирующийся на плоскость в прямоугольник .

Теорема. Если для функции существует тройной интеграл

(5)

и при каждом постоянном из — двойной интеграл

,

то существует также повторный интеграл

, (7)

и выполняется равенство

.

доказательство: Разделим промежутки , , на части с помощью точек

,

,

,

тем самым разложим параллелепипед (Т) на элементарные параллелепипеды

и одновременно прямоугольник — на элементарные прямоугольники

(где и пробегают те же значения, что и только что).

Положив

имеем в силу 1.3, 1.7,

для всех значений из . Фиксируя произвольное значение , в этом промежутке, просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k; мы получим неравенства

.

Наконец, умножим эти неравенства почленно на и просуммируем на этот раз по значку :

.

Крайние члены представляют собой суммы Дарбу для интеграла и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей , , . Значит, к тому же пределу стремится интегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла, так и равенство. Если предположить еще существование простого интеграла

при любых значениях х из , у из ,то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным и окончательно получим:

.

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных , в формуле (10), разумеется, могут быть произвольно переставлены.

Если , то

И здесь роли переменных можно переставлять.

В частности, для случая непрерывной функции ,очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных [3].

Профессиональное самоопределение учащихся средствами технологической подготовки
Мы видим следующую цель уроков технологии - самоопределение, развитие и самореализация учащегося в его практической (профессиональной) деятельности, которая с помощью специальных методик (работа с мастером, групповая и индивидуальная рефлексия, личный интерес) тесно связана с индивидуально организу ...

Сценарий мероприятия по актуальным проблемам подросткового возраста "Дороги, которые мы выбираем"
В конкурсе принимают участие ученики 9 - 11-го класса. Соревнуются 2 команды по 12 человек. Члены команды: капитан ; пресс-центр – 2 чел.; выездная бригада – 3чел.; члены команды – 6 чел. Задание командам: придумать название, девиз. Домашнее задание: размышление на актуальную тему: “Как снизить рас ...

Описание передового опыта по теме: «Формирование словаря у детей раннего возраста»
В нашем дошкольном учреждении работа по накоплению и уточнению активного и пассивного словарного запаса начинается с раннего возраста. Поставлены следующие задачи: 1. Научить детей слушать и понимать обращённую к ним речь и самим правильно пользоваться речью. 2. Формировать и обогащать словарь дете ...