Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед

Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция , представляет собой прямоугольный параллелепипед (рис.1), проектирующийся на плоскость в прямоугольник .

Теорема. Если для функции существует тройной интеграл

(5)

и при каждом постоянном из — двойной интеграл

,

то существует также повторный интеграл

, (7)

и выполняется равенство

.

доказательство: Разделим промежутки , , на части с помощью точек

,

,

,

тем самым разложим параллелепипед (Т) на элементарные параллелепипеды

и одновременно прямоугольник — на элементарные прямоугольники

(где и пробегают те же значения, что и только что).

Положив

имеем в силу 1.3, 1.7,

для всех значений из . Фиксируя произвольное значение , в этом промежутке, просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k; мы получим неравенства

.

Наконец, умножим эти неравенства почленно на и просуммируем на этот раз по значку :

.

Крайние члены представляют собой суммы Дарбу для интеграла и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей , , . Значит, к тому же пределу стремится интегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла, так и равенство. Если предположить еще существование простого интеграла

при любых значениях х из , у из ,то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным и окончательно получим:

.

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных , в формуле (10), разумеется, могут быть произвольно переставлены.

Если , то

И здесь роли переменных можно переставлять.

В частности, для случая непрерывной функции ,очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных [3].

Задачи и содержание словарной работы в детском саду
В отечественной методике развития речи задачи словарной работы в детском саду были определены в трудах Е. И. Тихеевой, О. И. Соловьевой, М. М. Кониной и уточнены в последующие годы. [1, с.100] Сегодня принято выделять четыре основные задачи: Во-первых, обогащение словаря новыми словами, усвоение де ...

Этнокультурная соотнесенность обучения и воспитания детей, приобщение их к истокам культуры своего народа
В своей истории многие народы осуществляют духовно – творческие свершения, переживающие века (древнегреческое искусство, римское право, германская музыка и т.д.) Каждый народ приносит в культуру своё, и каждое достижение народа является общим для всего человечества. Вот почему национальный гений и ...

Игра как фактор педагогического воздействия
Игра теснейшем образом связана с развитием личности, и именно в период ее особенно интенсивного развития – в детстве – она приобретает особое значение. В ранние, дошкольные годы жизни ребенка игра является тем видом деятельности, в которой формируется его личность. Игра – первая деятельность, котор ...