Вычисление тройного интеграла, распространенного на параллелепипед

Изложение вопроса о вычислении тройного интеграла начнем с того случая, когда тело, в котором определена функция , представляет собой прямоугольный параллелепипед (рис.1), проектирующийся на плоскость в прямоугольник .

Теорема. Если для функции существует тройной интеграл

(5)

и при каждом постоянном из — двойной интеграл

,

то существует также повторный интеграл

, (7)

и выполняется равенство

.

доказательство: Разделим промежутки , , на части с помощью точек

,

,

,

тем самым разложим параллелепипед (Т) на элементарные параллелепипеды

и одновременно прямоугольник — на элементарные прямоугольники

(где и пробегают те же значения, что и только что).

Положив

имеем в силу 1.3, 1.7,

для всех значений из . Фиксируя произвольное значение , в этом промежутке, просуммируем подобные неравенства для всех значений j и k; мы получим неравенства

.

Наконец, умножим эти неравенства почленно на и просуммируем на этот раз по значку :

.

Крайние члены представляют собой суммы Дарбу для интеграла и стремятся к нему, как к пределу, при стремлении к нулю всех разностей , , . Значит, к тому же пределу стремится интегральная сумма, стоящая посредине. Этим доказано одновременно как существование интеграла, так и равенство. Если предположить еще существование простого интеграла

при любых значениях х из , у из ,то двойной интеграл в равенстве (8) можно заменить повторным и окончательно получим:

.

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к последовательному вычислению трех простых интегралов. Роли переменных , в формуле (10), разумеется, могут быть произвольно переставлены.

Если , то

И здесь роли переменных можно переставлять.

В частности, для случая непрерывной функции ,очевидно, имеют место все формулы (8), (10), (11) и им подобные, получающиеся перестановкой переменных [3].

Методы оказания психологической помощи при выборе профессии
Мир профессий чрезвычайно динамичен и изменчив. В нашей стране специальностей насчитывается более 7000 профессий. Каждый год происходит обновление около 500 видов труда. Однако действительность такова, что за последние годы появилось множество новых профессий, следовательно, процесс обновления видо ...

Концептуальные основы создания инновационных предприятий вузами
инновационный компания университет За последние годы значительно увеличено финансирование науки за счет средств государства – как в части фундаментальной науки, так и в части прикладных разработок, в том числе через механизм федеральных целевых программ, через государственные фонды финансирования н ...

Характеристика мыслительных операций и развитие их в онтогенезе
Мышление - это процесс познания человеком действительности с помощью мыслительных процессов: анализа, синтеза, сравнений и т. п. Анализ-это мыслительное расчленение предмета или явления на образующие его части, выделение в нем, отдельных частей, признаков и свойств. Сравнение - это сопоставление пр ...