Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов

1. Существование и величина тройного интеграла не зависят от значений, принимаемых функцией вдоль конечного числа поверхностей с объемом 0.

2. Если , то , причем из существования интеграла слева вытекает уже существование интегралов справа, и обратно.

3. Если k= const, топричем из существования интеграла справа следует существование интеграла слева.

4. Если в области (V) интегрируемы две функции f и g, то интегрируема и функция , причем

5. Если для интегрируемых в области (V) функции, f и g выполняется неравенство , то

6. В случае интегрируемости функции интегрируема и функция , и имеет место неравенство

.

7. Если интегрируемая в функция удовлетворяет неравенству , то

Иными словами, имеет место теорема о среднем значении

.

В случае непрерывности функции эту формулу можно написать

где есть некоторая точка области .

Устанавливаем понятие функции от (трехмерной) области, в частности, аддитивной функции.

Важным примером такой функции является интеграл по переменной области :

Вводится аналогично прежнему понятие производной функции по области в данной точке , так называется предел

при стягивании к точке М содержащей ее области .

8. Если подинтегральная функция непрерывна, то производная

Рис. 1.

по области в точке от интеграла (4) будет равна значению подинтегральной функции в этой точке, т. е.

Таким образом, при сделанном предположении интеграл (4) служит для функции в некотором смысле «первообразной» и, как доказывается аналогично плоскому случаю, единственной аддитивной первообразной.

Пути формирования у младших школьников ценностного отношения к здоровью
По выражению академика Н.М. Амосова «…чтобы быть здоровым, нужны собственные усилия, постоянные и значительные. Заменить их ничем нельзя». Указать нужное направление «собственным усилиям» призвана молодая быстро развивающаяся наука валеология». Валеология (от латинского valeo - «здравствовать», быт ...

Особенности формирования словаря детей в дошкольном возрасте
Как уже отмечалось, правильное формирование словаря дошкольников служит средством полноценного общения и развития личности. Лексика как важнейшая часть языковой системы имеет огромное общеобразовательное и практическое значение. Богатство сформированного словаря дошкольников есть признак высокого р ...

Сеть учреждений и служб, оказывающих социально-педагогическую, психологическую помощь
Сеть учреждений и служб, оказывающих социально-педагогическую помощь детям включает: o учреждения и службы образования (дошкольные, внешкольные, общеобразовательные школы, колледжи, лицеи, школы-интернаты, детские дома, ПТУ, средние профессиональные учебные заведения, вузы и др.), o учреждения и сл ...