Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов

1. Существование и величина тройного интеграла не зависят от значений, принимаемых функцией вдоль конечного числа поверхностей с объемом 0.

2. Если , то , причем из существования интеграла слева вытекает уже существование интегралов справа, и обратно.

3. Если k= const, топричем из существования интеграла справа следует существование интеграла слева.

4. Если в области (V) интегрируемы две функции f и g, то интегрируема и функция , причем

5. Если для интегрируемых в области (V) функции, f и g выполняется неравенство , то

6. В случае интегрируемости функции интегрируема и функция , и имеет место неравенство

.

7. Если интегрируемая в функция удовлетворяет неравенству , то

Иными словами, имеет место теорема о среднем значении

.

В случае непрерывности функции эту формулу можно написать

где есть некоторая точка области .

Устанавливаем понятие функции от (трехмерной) области, в частности, аддитивной функции.

Важным примером такой функции является интеграл по переменной области :

Вводится аналогично прежнему понятие производной функции по области в данной точке , так называется предел

при стягивании к точке М содержащей ее области .

8. Если подинтегральная функция непрерывна, то производная

Рис. 1.

по области в точке от интеграла (4) будет равна значению подинтегральной функции в этой точке, т. е.

Таким образом, при сделанном предположении интеграл (4) служит для функции в некотором смысле «первообразной» и, как доказывается аналогично плоскому случаю, единственной аддитивной первообразной.

Биологические особенности яровой пшеницы
Мягкая яровая пшеница относится к семейству мятликовых и входит в состав первой группы зерновых хлебов. Мягкая яровая пшеница представляет собой однолетнее травянистое растение высотой 0,5-1,5 м, состоящее из корневой системы, стебля - соломины, листьев и соцветия - колоса. Пшеница имеет мочковатую ...

Воспитание и родительское воздействие
В родительском труде, как во всяком другом, возможны и ошибки, и сомнения, и временные неудачи, поражения, которые сменяются победами. Воспитание в семье – это та же жизнь, и наше поведение и даже наши чувства к детям сложны, изменчивы и противоречивы. К тому же родители не похожи друг на друга, ка ...

Игра как фактор педагогического воздействия
Игра теснейшем образом связана с развитием личности, и именно в период ее особенно интенсивного развития – в детстве – она приобретает особое значение. В ранние, дошкольные годы жизни ребенка игра является тем видом деятельности, в которой формируется его личность. Игра – первая деятельность, котор ...