Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов

1. Существование и величина тройного интеграла не зависят от значений, принимаемых функцией вдоль конечного числа поверхностей с объемом 0.

2. Если , то , причем из существования интеграла слева вытекает уже существование интегралов справа, и обратно.

3. Если k= const, топричем из существования интеграла справа следует существование интеграла слева.

4. Если в области (V) интегрируемы две функции f и g, то интегрируема и функция , причем

5. Если для интегрируемых в области (V) функции, f и g выполняется неравенство , то

6. В случае интегрируемости функции интегрируема и функция , и имеет место неравенство

.

7. Если интегрируемая в функция удовлетворяет неравенству , то

Иными словами, имеет место теорема о среднем значении

.

В случае непрерывности функции эту формулу можно написать

где есть некоторая точка области .

Устанавливаем понятие функции от (трехмерной) области, в частности, аддитивной функции.

Важным примером такой функции является интеграл по переменной области :

Вводится аналогично прежнему понятие производной функции по области в данной точке , так называется предел

при стягивании к точке М содержащей ее области .

8. Если подинтегральная функция непрерывна, то производная

Рис. 1.

по области в точке от интеграла (4) будет равна значению подинтегральной функции в этой точке, т. е.

Таким образом, при сделанном предположении интеграл (4) служит для функции в некотором смысле «первообразной» и, как доказывается аналогично плоскому случаю, единственной аддитивной первообразной.

Система коррекционной работы по устранению аграмматической дисграфии у младших школьников с тяжелыми нарушениями речи
Проблема диагностики и коррекции причин трудностей в обучении русскому языку учащихся младших классов школы V вида особенно актуальна. Аграмматическая дисграфия связывается с недоразвитием у детей лексико-грамматического строя речи, несформированностью морфологических и синтаксических обобщений. Ош ...

Палочки Кюизенера
Во всем мире широко известен дидактический материал, разработанный бельгийским математиком X. Кюизенером. Он предназначен для обучения математике и используется педагогами разных стран в работе с детьми, начиная с младших групп детского сада и кончая старшими классами школы. Палочки Кюизенера назыв ...

Проблема замены недостающих зрительных образов у слепых детей
Для слепого ребенка та же самая проблема недоразвития высших функций в связи с коллективной деятельностью находит конкретное выражение в совершенно других областях поведения и мышления. Если правильно разобраться в этой проблеме, то корни ее обнаружат сходство с теми корнями, которое мы рассматрива ...