Вычисление тройного интеграла по любой области

Общий случаи интеграла, распространенного на тело любой формы, может быть легко приведен к только что рассмотренному. Именно, если функция определена в области ,то вместо нее следует лишь ввести, функцию , определенную в объемлющем прямоугольном параллелепипеде , полагая

Этим путем и получаются все приводимые ниже формулы.

Рис. 2.

Остановимся на случаях, представляющих наибольший интерес. Пусть тело содержится между плоскостями и и каждою параллельною им плоскостью, отвечающей фиксированному значению , пересекается по некоторой фигуре, имеющей площадь; через обозначим ее проекцию на плоскость (рис. 2). Тогда

(8*)

в предположении существования тройного и двойного интегралов. Это — аналог формулы.

Пусть, далее, тело представляет собой «цилиндрический брус», ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями

проектирующимися на плоскость в некоторую фигуру , ограниченную кривой с площадью 0; с боков тело ограничено цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , и с кривой в роли направляющей. Тогда аналогично формуле имеем

при этом предполагается существование тройного интеграла и простого — внутреннего— интеграла справа.

Если область представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми (рис.14) и и прямыми , , то тело подходит под оба типа, рассмотренных выше. Заменяя двойной интеграл—то ли в формуле, то ли в формуле —повторным, получим

.

Эта формула обобщает формулу.

Как и в простейшем случае, который был рассмотрен в предыдущем п°, и здесь непрерывность функции обеспечивает приложимость всех формул и им подобных, получающихся из них перестановкой переменных .

Рис. 3.

Организация и методика проведения экспериментального исследования
Цель проведения опытно-экспериментальной работы: исследовать условия успешного взаимодействия педагога и дошкольника при организации игровых форм коллективного (группового) обучения. Опытно-экспериментальная работа проводилась на базе МДОУ № 21 г. Новоалтайска. В исследуемую группу вошли 15 старших ...

Технология работы с семьей, воспитывающей ребенка инвалида
Социальная защита семей есть обеспечение их полноценной жизнедеятельности. Решающую роль в области защиты прав и интересов семей, имеющих детей с отклонениями в развитии, играет государственная экономическая и социальная политика. В основе современной социальной политики по защите прав семей лежат ...

Стадии умственного развития
Взрослые способны выполнять умственные операции на высоком уровне абстракции и логики. Для педагогов одним из наиболее важных аспектов работы Пиаже является выделение им стадий, которые необходимы для усвоения формальных операций. Познакомимся с краткой характеристикой этих стадий. Таблица 2-2 I Се ...