Вычисление тройного интеграла по любой области

Общий случаи интеграла, распространенного на тело любой формы, может быть легко приведен к только что рассмотренному. Именно, если функция определена в области ,то вместо нее следует лишь ввести, функцию , определенную в объемлющем прямоугольном параллелепипеде , полагая

Этим путем и получаются все приводимые ниже формулы.

Рис. 2.

Остановимся на случаях, представляющих наибольший интерес. Пусть тело содержится между плоскостями и и каждою параллельною им плоскостью, отвечающей фиксированному значению , пересекается по некоторой фигуре, имеющей площадь; через обозначим ее проекцию на плоскость (рис. 2). Тогда

(8*)

в предположении существования тройного и двойного интегралов. Это — аналог формулы.

Пусть, далее, тело представляет собой «цилиндрический брус», ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями

проектирующимися на плоскость в некоторую фигуру , ограниченную кривой с площадью 0; с боков тело ограничено цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , и с кривой в роли направляющей. Тогда аналогично формуле имеем

при этом предполагается существование тройного интеграла и простого — внутреннего— интеграла справа.

Если область представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми (рис.14) и и прямыми , , то тело подходит под оба типа, рассмотренных выше. Заменяя двойной интеграл—то ли в формуле, то ли в формуле —повторным, получим

.

Эта формула обобщает формулу.

Как и в простейшем случае, который был рассмотрен в предыдущем п°, и здесь непрерывность функции обеспечивает приложимость всех формул и им подобных, получающихся из них перестановкой переменных .

Рис. 3.

Развитие процессов мышления и понимания в рамках культурно исторической концепции
Концепция разрабатывалась Выготским и его школой (Леонтьев, Лурия и др.) в 20-30 гг. XX в. Одной из первых публикаций была статья "Проблема культурного развития ребенка" в журнале "Педология" в 1928 г. Следуя идее общественно-исторической природы психики, Выготский совершает пер ...

Основная гимнастика как средство и метод физического воспитания ребенка
Гимнастика (от греч. «гимнос» — обнаженный) — система специально подобранных физических упражнений и научно разработанных методических положений, направленных на решение задач всестороннего физического развития и оздоровления ребенка. Она предполагает оздоровление и всестороннюю физическую подготов ...

Понятие воспитания
Воспитание (в широком значении). Понятие воспитание трактуется в науке широко и многоаспектно. Отдельные определения этого понятия даны в трудах ученых, в том числе в Советском энциклопедическом словаре. (М., 1982, с. 248), в Российской педагогической энциклопедии (в 2-х тт. — М., 1993. — Т. 1. С. ...