Вычисление тройного интеграла по любой области

Общий случаи интеграла, распространенного на тело любой формы, может быть легко приведен к только что рассмотренному. Именно, если функция определена в области ,то вместо нее следует лишь ввести, функцию , определенную в объемлющем прямоугольном параллелепипеде , полагая

Этим путем и получаются все приводимые ниже формулы.

Рис. 2.

Остановимся на случаях, представляющих наибольший интерес. Пусть тело содержится между плоскостями и и каждою параллельною им плоскостью, отвечающей фиксированному значению , пересекается по некоторой фигуре, имеющей площадь; через обозначим ее проекцию на плоскость (рис. 2). Тогда

(8*)

в предположении существования тройного и двойного интегралов. Это — аналог формулы.

Пусть, далее, тело представляет собой «цилиндрический брус», ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями

проектирующимися на плоскость в некоторую фигуру , ограниченную кривой с площадью 0; с боков тело ограничено цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , и с кривой в роли направляющей. Тогда аналогично формуле имеем

при этом предполагается существование тройного интеграла и простого — внутреннего— интеграла справа.

Если область представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми (рис.14) и и прямыми , , то тело подходит под оба типа, рассмотренных выше. Заменяя двойной интеграл—то ли в формуле, то ли в формуле —повторным, получим

.

Эта формула обобщает формулу.

Как и в простейшем случае, который был рассмотрен в предыдущем п°, и здесь непрерывность функции обеспечивает приложимость всех формул и им подобных, получающихся из них перестановкой переменных .

Рис. 3.

Методы и формы организации профессионального воспитания учащихся
Профессиональное воспитание включает в себя формирование склонностей и профессиональных интересов учащихся. Сущность педагогической работы по профессиональному воспитанию заключается в том, чтобы побуждать учащихся к участию в разнообразных формах учебной и внеклассной работы, общественно-полезному ...

Бессмертный подвиг двадцати восьми героев
Это было 16 ноября 1941 года. Фашисты рвались к Москве. Путь им преградили гвардейцы из дивизии генерала Панфилова. Их было 28 человек. Среди них были русские, казахи, украинцы. Прямо на них шли 20 фашистских танков. Отважные воины приняли неравный бой. Бой продолжался несколько часов. Враг двинул ...

Суть метода Video-English
Простой факт: ученик никогда не научится понимать английскую речь, если не будет упорно тренироваться. Ему нужно слушать, как говорят носители языка, и ему нужно учиться их понимать. Если он мечтает владеть английским языком, как своим родным, выбора у него просто нет. Метод Video-English основан и ...