Вычисление тройного интеграла по любой области

Общий случаи интеграла, распространенного на тело любой формы, может быть легко приведен к только что рассмотренному. Именно, если функция определена в области ,то вместо нее следует лишь ввести, функцию , определенную в объемлющем прямоугольном параллелепипеде , полагая

Этим путем и получаются все приводимые ниже формулы.

Рис. 2.

Остановимся на случаях, представляющих наибольший интерес. Пусть тело содержится между плоскостями и и каждою параллельною им плоскостью, отвечающей фиксированному значению , пересекается по некоторой фигуре, имеющей площадь; через обозначим ее проекцию на плоскость (рис. 2). Тогда

(8*)

в предположении существования тройного и двойного интегралов. Это — аналог формулы.

Пусть, далее, тело представляет собой «цилиндрический брус», ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями

проектирующимися на плоскость в некоторую фигуру , ограниченную кривой с площадью 0; с боков тело ограничено цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , и с кривой в роли направляющей. Тогда аналогично формуле имеем

при этом предполагается существование тройного интеграла и простого — внутреннего— интеграла справа.

Если область представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми (рис.14) и и прямыми , , то тело подходит под оба типа, рассмотренных выше. Заменяя двойной интеграл—то ли в формуле, то ли в формуле —повторным, получим

.

Эта формула обобщает формулу.

Как и в простейшем случае, который был рассмотрен в предыдущем п°, и здесь непрерывность функции обеспечивает приложимость всех формул и им подобных, получающихся из них перестановкой переменных .

Рис. 3.

Нравственые воззрения и нравственное воспитание
В качестве заключения считаю необходимым обратиться к вопросам выработки у ребенка нравственных воззрений. В связи с возрастающей ролью географических исследований в решении практических задач, связанных с социальной и территориальной организацией общества, а также с экологическими проблемами, все ...

Описание передового опыта по теме: «Формирование словаря у детей раннего возраста»
В нашем дошкольном учреждении работа по накоплению и уточнению активного и пассивного словарного запаса начинается с раннего возраста. Поставлены следующие задачи: 1. Научить детей слушать и понимать обращённую к ним речь и самим правильно пользоваться речью. 2. Формировать и обогащать словарь дете ...

Кальций и его распространенность в природе
Кальций (Calcium) Ca – химический элемент периодической системы элементов Д.И. Менделеева с порядковым номером 20 и атомной массой 40,08 а.е.м. Природный кальций образован 6 стабильными изотопами: кальций – 40 (96,94%), кальций – 44 (2,09%), кальций – 42 (0,067%), кальций – 48 (0,187%), кальций – 4 ...