Вычисление тройного интеграла по любой области

Общий случаи интеграла, распространенного на тело любой формы, может быть легко приведен к только что рассмотренному. Именно, если функция определена в области ,то вместо нее следует лишь ввести, функцию , определенную в объемлющем прямоугольном параллелепипеде , полагая

Этим путем и получаются все приводимые ниже формулы.

Рис. 2.

Остановимся на случаях, представляющих наибольший интерес. Пусть тело содержится между плоскостями и и каждою параллельною им плоскостью, отвечающей фиксированному значению , пересекается по некоторой фигуре, имеющей площадь; через обозначим ее проекцию на плоскость (рис. 2). Тогда

(8*)

в предположении существования тройного и двойного интегралов. Это — аналог формулы.

Пусть, далее, тело представляет собой «цилиндрический брус», ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями

проектирующимися на плоскость в некоторую фигуру , ограниченную кривой с площадью 0; с боков тело ограничено цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , и с кривой в роли направляющей. Тогда аналогично формуле имеем

при этом предполагается существование тройного интеграла и простого — внутреннего— интеграла справа.

Если область представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми (рис.14) и и прямыми , , то тело подходит под оба типа, рассмотренных выше. Заменяя двойной интеграл—то ли в формуле, то ли в формуле —повторным, получим

.

Эта формула обобщает формулу.

Как и в простейшем случае, который был рассмотрен в предыдущем п°, и здесь непрерывность функции обеспечивает приложимость всех формул и им подобных, получающихся из них перестановкой переменных .

Рис. 3.

Общая характеристика Тверской области
Тверская область – самый крупный субъект Российской Федерации в Центральном федеральном округе по занимаемой площади (84 тыс. кв. км), представляет собой территорию с населением 1,4 млн. человек и большой продолжительностью дорог (22 тыс. км, из них 6 тыс. км – поселковых). В Тверской области: Горо ...

Ребенок и прекрасное
Маленький человек пришел в большой и сложный мир взрослых. В ярком, радостном, многоголосом и многоцветном этом мире мы должны помочь детям найти и полюбить красоту природы, поэзии, живописи, музыки. Искусство помогает ребенку приобщиться к доброму, осудить зло, почувствовать красоту окружающего ми ...

Нравственная позиция воспитателя: сущность, понятие, содержание
В отечественной науке в качестве основополагающего компонента в модели личности педагога выделяют позицию педагога, которую включает профессионально-нравственные установки и качества личности, определяющие ее мотивационное ядро, мировоззренческую, профессионально-педагогическую, познавательную и нр ...