Вычисление тройного интеграла по любой области

Общий случаи интеграла, распространенного на тело любой формы, может быть легко приведен к только что рассмотренному. Именно, если функция определена в области ,то вместо нее следует лишь ввести, функцию , определенную в объемлющем прямоугольном параллелепипеде , полагая

Этим путем и получаются все приводимые ниже формулы.

Рис. 2.

Остановимся на случаях, представляющих наибольший интерес. Пусть тело содержится между плоскостями и и каждою параллельною им плоскостью, отвечающей фиксированному значению , пересекается по некоторой фигуре, имеющей площадь; через обозначим ее проекцию на плоскость (рис. 2). Тогда

(8*)

в предположении существования тройного и двойного интегралов. Это — аналог формулы.

Пусть, далее, тело представляет собой «цилиндрический брус», ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями

проектирующимися на плоскость в некоторую фигуру , ограниченную кривой с площадью 0; с боков тело ограничено цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , и с кривой в роли направляющей. Тогда аналогично формуле имеем

при этом предполагается существование тройного интеграла и простого — внутреннего— интеграла справа.

Если область представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми (рис.14) и и прямыми , , то тело подходит под оба типа, рассмотренных выше. Заменяя двойной интеграл—то ли в формуле, то ли в формуле —повторным, получим

.

Эта формула обобщает формулу.

Как и в простейшем случае, который был рассмотрен в предыдущем п°, и здесь непрерывность функции обеспечивает приложимость всех формул и им подобных, получающихся из них перестановкой переменных .

Рис. 3.

Сущность понятия «музыкальная выразительность исполнения»
Музыка, как и каждый из видов искусства, имеет свои особенности, свои условности, свои специфические черты. Вместе с тем, музыке неотъемлемо присущи качества, объединяющие ее с другими искусствами; говоря иными словами, музыка подчиняется общим законам искусства. Основным из этих законов является т ...

Исторический экскурс в теории воспитания
Теории воспитания - это концепции, объясняющие происхождение, формирование и изменение личности, ее поведения под влиянием воспитателя. До второй половины 20 века была широко распространены теории воспитания, согласно которым личностные качества человека передаются по наследству, под влиянием услов ...

Общая характеристика речевого развития детей с умеренной умственной отсталостью
В данном параграфе рассматриваются понятия «умственная отсталость», «умственно отсталые дети», «имбецильность»; причины речевых нарушений олигофренов и общие логопедические подходы к ним; особенности расстройства речи у олигофренов сравнительно с нормой и особенности развития детей с умеренной умст ...