Вычисление тройного интеграла по любой области

Общий случаи интеграла, распространенного на тело любой формы, может быть легко приведен к только что рассмотренному. Именно, если функция определена в области ,то вместо нее следует лишь ввести, функцию , определенную в объемлющем прямоугольном параллелепипеде , полагая

Этим путем и получаются все приводимые ниже формулы.

Рис. 2.

Остановимся на случаях, представляющих наибольший интерес. Пусть тело содержится между плоскостями и и каждою параллельною им плоскостью, отвечающей фиксированному значению , пересекается по некоторой фигуре, имеющей площадь; через обозначим ее проекцию на плоскость (рис. 2). Тогда

(8*)

в предположении существования тройного и двойного интегралов. Это — аналог формулы.

Пусть, далее, тело представляет собой «цилиндрический брус», ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями

проектирующимися на плоскость в некоторую фигуру , ограниченную кривой с площадью 0; с боков тело ограничено цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , и с кривой в роли направляющей. Тогда аналогично формуле имеем

при этом предполагается существование тройного интеграла и простого — внутреннего— интеграла справа.

Если область представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми (рис.14) и и прямыми , , то тело подходит под оба типа, рассмотренных выше. Заменяя двойной интеграл—то ли в формуле, то ли в формуле —повторным, получим

.

Эта формула обобщает формулу.

Как и в простейшем случае, который был рассмотрен в предыдущем п°, и здесь непрерывность функции обеспечивает приложимость всех формул и им подобных, получающихся из них перестановкой переменных .

Рис. 3.

Подготовка учителя к уроку ОБЖ
Предварительный этап подготовки к уроку В традиционной дидактике принято различать два этапа в подготовке учителя к уроку - предварительный и непосредственный. Результатом первого является тематический план, представляющий собой научно обоснованное распределение во времени (объем и последовательнос ...

Характеристика образовательного стандарта для профессионально технических училищ по общей биологии
Изучение биологии на базовом уровне направлено на достижение следующих целей и реализации учебных задач: освоение знаний о биологических системах (клетка, организм, вид, экосистема); истории развития современных представлений о живой природе; выдающихся открытиях в биологической науке; роли биологи ...

Проблема закрытия малокомплектных школ Тверской области
Несколько лет в Тверской области под видом "оптимизации" происходил самый настоящий разгром системы образования на селе. Поданными Росстата Тверская область к началу 2011 года оказалась на втором месте в ЦФО, после Тамбовской области по количеству закрытых малокомплектных сельских школ. С ...