Вычисление тройного интеграла по любой области

Общий случаи интеграла, распространенного на тело любой формы, может быть легко приведен к только что рассмотренному. Именно, если функция определена в области ,то вместо нее следует лишь ввести, функцию , определенную в объемлющем прямоугольном параллелепипеде , полагая

Этим путем и получаются все приводимые ниже формулы.

Рис. 2.

Остановимся на случаях, представляющих наибольший интерес. Пусть тело содержится между плоскостями и и каждою параллельною им плоскостью, отвечающей фиксированному значению , пересекается по некоторой фигуре, имеющей площадь; через обозначим ее проекцию на плоскость (рис. 2). Тогда

(8*)

в предположении существования тройного и двойного интегралов. Это — аналог формулы.

Пусть, далее, тело представляет собой «цилиндрический брус», ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями

проектирующимися на плоскость в некоторую фигуру , ограниченную кривой с площадью 0; с боков тело ограничено цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , и с кривой в роли направляющей. Тогда аналогично формуле имеем

при этом предполагается существование тройного интеграла и простого — внутреннего— интеграла справа.

Если область представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми (рис.14) и и прямыми , , то тело подходит под оба типа, рассмотренных выше. Заменяя двойной интеграл—то ли в формуле, то ли в формуле —повторным, получим

.

Эта формула обобщает формулу.

Как и в простейшем случае, который был рассмотрен в предыдущем п°, и здесь непрерывность функции обеспечивает приложимость всех формул и им подобных, получающихся из них перестановкой переменных .

Рис. 3.

Анализ и сравнение познавательного интереса младших школьников с традиционной и вальдорофской системами обучения
вальдорфский обучение познавательный интерес По данным методики Г.Н.Казанцевой были установлены следующие результаты: Раздел I. Любимые предметы 3б 3в 1.Физкультура (22ответа) 2.ИЗО (16 ответов) 3. Математика (14 ответов) 1. Математика (12 ответов) 2. Физкультура (10 ответов) 3. Окружающий мир (8 о ...

Условия ознакомления младших школьников с элементами графической грамотности
Процесс ознакомления младших школьников с элементами графической грамотности очень сложен и захватывает различные сферы умственной деятельности школьника. Как отмечала И.Н. Садовникова, для формирования графической грамотности необходимо, чтобы обучающийся был подготовлен к ознакомлению элементов г ...

Типология и структура уроков
Структура урока и формы организации учебной работы на нем имеют принципиальное значение в теории и практике современного урока, поскольку в значительной степени определяют эффективность обучения, его результативность. Какие же элементы и части урока считаются структурными, а какие нет? Единого мнен ...