Общий случаи интеграла, распространенного на тело
любой формы, может быть легко приведен к только что рассмотренному. Именно, если функция
определена в области
,то вместо нее следует лишь ввести, функцию
, определенную в объемлющем
прямоугольном параллелепипеде
, полагая
Этим путем и получаются все приводимые ниже формулы.
Рис. 2.
Остановимся на случаях, представляющих наибольший интерес. Пусть тело
содержится между плоскостями
и
и каждою параллельною им плоскостью, отвечающей фиксированному значению
, пересекается по некоторой фигуре, имеющей площадь; через
обозначим ее проекцию на плоскость
(рис. 2). Тогда
(8*)
в предположении существования тройного и двойного интегралов. Это — аналог формулы.
Пусть, далее, тело
представляет собой «цилиндрический брус», ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями
проектирующимися на плоскость
в некоторую фигуру
, ограниченную кривой
с площадью 0; с боков тело
ограничено цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси
, и с кривой
в роли направляющей. Тогда аналогично формуле имеем
при этом предполагается существование тройного интеграла и простого — внутреннего— интеграла справа.
Если область
представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми (рис.14)
и
и прямыми
,
, то тело
подходит под оба типа, рассмотренных выше. Заменяя двойной интеграл—то ли в формуле, то ли в формуле —повторным, получим
.
Эта формула обобщает формулу.
Как и в простейшем случае, который был рассмотрен в предыдущем п°, и здесь непрерывность функции
обеспечивает приложимость всех формул и им подобных, получающихся из них перестановкой переменных
.
Рис. 3.
Педагогические рекомендации преподавателям кружка фортепиано по развитию
музыкальной выразительности исполнения у младших школьников
Кружок фортепианного исполнительства является одной из наиболее эффективных форм организации внеклассных музыкальных занятий. Данная форма внеклассной работы способствует формированию общей и музыкальной культуры школьников. Для успешного руководительства процессом развития музыкальной выразительно ...
Социально-педагогические основы профессионального самоопределения
учащихся
Проблема профессионального самоопределения личности относится к числу активно разрабатываемых психолого-педагогических проблем. Многообразие различных концептуальных подходов (педагогов, психологов, социологов, методологов) в рассмотрении проблемы профессионального самоопределения вызвано не только ...
Философско-мировоззренческая подготовка школьников
Научные знания выступают как часть, сторона, подтверждение диалектического взгляда на мир. Рассматривая научное мировоззрение как способ осмысления, понимания и оценки объективной реальности, мы обнаруживаем, что оно представляет собой связь между различными знаниями, идеями, понятиями, образующими ...