Вычисление тройного интеграла по любой области

Общий случаи интеграла, распространенного на тело любой формы, может быть легко приведен к только что рассмотренному. Именно, если функция определена в области ,то вместо нее следует лишь ввести, функцию , определенную в объемлющем прямоугольном параллелепипеде , полагая

Этим путем и получаются все приводимые ниже формулы.

Рис. 2.

Остановимся на случаях, представляющих наибольший интерес. Пусть тело содержится между плоскостями и и каждою параллельною им плоскостью, отвечающей фиксированному значению , пересекается по некоторой фигуре, имеющей площадь; через обозначим ее проекцию на плоскость (рис. 2). Тогда

(8*)

в предположении существования тройного и двойного интегралов. Это — аналог формулы.

Пусть, далее, тело представляет собой «цилиндрический брус», ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями

проектирующимися на плоскость в некоторую фигуру , ограниченную кривой с площадью 0; с боков тело ограничено цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , и с кривой в роли направляющей. Тогда аналогично формуле имеем

при этом предполагается существование тройного интеграла и простого — внутреннего— интеграла справа.

Если область представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми (рис.14) и и прямыми , , то тело подходит под оба типа, рассмотренных выше. Заменяя двойной интеграл—то ли в формуле, то ли в формуле —повторным, получим

.

Эта формула обобщает формулу.

Как и в простейшем случае, который был рассмотрен в предыдущем п°, и здесь непрерывность функции обеспечивает приложимость всех формул и им подобных, получающихся из них перестановкой переменных .

Рис. 3.

Отношение преподавателей к рейтинговой оценке
Не смотря на то, что наибольший резонанс в ТюмГУ вызывает рейтинговая оценка деятельности преподавателей, все же сама система менеджмента качества, формируемая в ТюмГУ предполагает наличие не только рейтинговой оценки деятельности преподавателей, но и рейтинг структурного подразделения (кафедры, фа ...

Усвоение понятий и восприятие
Анализ концептуальной структуры географии привел к попыткам положить в основу школьного обучения овладение не только ключевыми, но и производными понятиями. Наряду с этим все больше внимания уделяется развитию умений и навыков, поскольку учащимся прививают интерес к применению исследовательских мет ...

Роль коллектива в воспитании учащихся
Система воспитания, сложившиеся в нашей стране, получила название коллективистической. В ее основе лежит тезис, согласно которому воспитание, и, следовательно, полноценное развитие личности возможны только в коллективе и через коллектив. Своими практическими делами А.С. Макаренко доказал, что разви ...